もう一度(これでだめな時は更新してください。) : 新しいNと場所で描き直します。

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LU分解コレスキー法 - - -

フーリエ解析関係周期関数たち周期関数に対する
フーリエ級数展開非周期関数に対する
フーリエ級数展開ストークスの波動公式 -

コレスキー法(2011年6月12日公開、2011年06月12日22:40:55第0回の改訂)
●注意

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上はＪＡＶＡで作られています。メモリを大量に使ったり、重くなるかもしれません。その時は、ごめんなさい。
実行後に画面をスクロールしたり、アプレット全体が画面に入ってないと、間違った画面になるかもしれないので、気をつけてください。画面の大きさを決めてから”もう一度”をクリックするか、更新(reload)してください。

ここでは、連立方程式を解く方法を学ぶときに、たいていの教科書で紹介されているLU分解をやっています。LU分解自体は連立方程式を解かなくてもやってみることができるので、ここでは分解だけしています。
行列Aを括弧()はかっこ悪いけど使っていませんが・・・次のようにあらわします。
A =

a₁₁	a₁₂	・・・	a_1j	・・・	a_1n
a₂₁	a₂₂	・・・	a_2j	・・・	a_2n
・・・
a_i1	a_i2	・・・	a_ij	・・・	a_in
・・・
a_n1	a_n2	・・・	a_nj	・・・	a_nn

この行列Aを以下のような下三角行列Lと上三角行列Uを使って、LU=Aとなるように分解するのがLU分解です。
L =

l₁₁	0	・・・	0	・・・	0
l₂₁	l₂₂	0・・・	0	・・・	0
・・・
a_i1	a_i2	・・・	l_ii	0・・・	0
・・・
l_n1	l_n2	・・・	l_nj	・・・	l_nn

U =

u₁₁	u₁₂	・・・	u_1j	・・・	u_1n
0	u₂₂	・・・	u_2j	・・・	u_2n
・・・
0	0	・・・0	u_jj	・・・	u_in
・・・
0	0	・・・	0	・・・0	u_nn

ここで行っている分解の方法はコレスキー法と呼ばれるもので、以下のような感じです。
ただし、Aが対称正定値のときに有効という条件つきで、じゃぁ、対称正定値とはなんぞやという説明は参考文献をご覧になってほしいという究極の逃避行なのです。。。
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STEP 1
l₁₁ = √a₁₁
u₁₁ = l₁₁ = √a₁₁
をセットする。
STEP 2
i =2,3,...,n の順に、
l_i1 = a_1i / l₁₁
j =2,3,...,n の順に、
u_1j = l_j1 = a_1i / l₁₁
を計算する。
STEP 3
k =2,3,...,n の順に、
l_kk = √(a_kk - Σ_(m=1)^(m=k-1)l_km² )
u_kk = l_kk = √(a_kk - Σ_(m=1)^(m=k-1)l_km² )
i = k + 1,...,n の順に、
l_ik = (a_ik - Σ_(m=1)^(m=k-1)l_iml_km ) / l_iml_kk
u_ki = l_ik = (a_ik - Σ_(m=1)^(m=k-1)l_iml_km ) / l_iml_kk
を計算する。
---------------

●参考文献
有本卓著、コロナ社、数値解析(1)
川上一郎著、岩波書店、数値計算
●プログラムのダウンロード
○Java(cholesky.java)

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